\subsection{整式}\label{subsec:2-3}

\begin{enhancedline}

看下面的代数式：
$$ 2x\nsep -\dfrac{3}{4}a^2\nsep \dfrac{4x^2y^3}{7}\nsep ab^3\nsep -x^2yz \juhao $$

这些代数式，都是数与字母的积，这样的代数式叫做\zhongdian{单项式}。

单独一个数或字母， 如 $-5$， $x$， 也是单项式。

单项式 $2x$ 中的数字因数是 $2$，
$-\dfrac{3}{4}a^2$ 中的数字因数是 $-\dfrac{3}{4}$，
$\dfrac{4x^2y^3}{7}$ $\Big($ 可以看作 $\dfrac{4}{7} x^2y^3$ $\Big)$ 中的数字因数是 $\dfrac{4}{7}$。
单项式中的数字因数叫做单项式（或字母因数） 的\zhongdian{数字系数}，简称\zhongdian{系数}。
$2x$，$-\dfrac{3}{4}a^2$，$\dfrac{4x^2y^3}{7}$ 的系数分别是 $2$， $-\dfrac{3}{4}$，$\dfrac{4}{7}$。

当一个单项式的系数是 $1$ 或 $-1$ 时， “1” 通常略去不写。
例如， $1ab^3$ 写成 $ab^3$， $-1x^2yz$  写成 $-x^2yz$。

单项式 $2x$ 中，字母 $x$ 的指数是 $1$ ；
$-\dfrac{3}{4} a^2$ 中，字母 $a$ 的指数是 $2$ ；
$\dfrac{4x^2y^3}{7}$ 中，字母 $x$ 与 $y$ 的指数的和是 $2 + 3 = 5$；
$-x^2yz$ 中，字母 $x$、$y$、$z$ 的指数的和是 $2 + 1 + 1 = 4$。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个\zhongdian{单项式的次数}。
例如，$2x$ 是一次单项式， $-\dfrac{3}{4} a^2$ 是二次单项式，
$\dfrac{4x^2y^3}{7}$ 是五次单项式， $-x^2yz$ 是四次单项式。


\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{（口答） 下列代数式，哪些是单项式，哪些不是？\\
    $-2x^3$\nsep $ab$\nsep $1 + x$\nsep $\dfrac{4ab^2}{5}$\nsep $-y$\nsep $6x^2 - \dfrac{1}{2}x + 7$。
}


\xiaoti{下列单项式各是几次单项式？ 它们的系数各是什么？\\
    $8x$\nsep $-2a^2bc$\nsep $xy^2$\nsep $-t^2$\nsep $\dfrac{3x^2y}{10}$\nsep $\dfrac{5}{7}vt$\nsep $-10xyz$。
}

\end{xiaotis}
\lianxijiange

再来看下面的代数式：
$$ 4x - 5\nsep  6x^2 - \dfrac{1}{2}x + 7\nsep  a^2 + ab + b^2 \juhao $$

在这些代数式中，$4x - 5$ 是单项式 $4x$ 与 $-5$ 的和，
$6x^2 - \dfrac{1}{2}x + 7$ 是单项式 $6x^2$，$-\dfrac{1}{2}x$，$+7$ 的和，
$a^2 + ab + b^2$ 是单项式 $a^2$， $+ab$， $+b^2$ 的和。

几个单项式的和叫做\zhongdian{多项式}。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的\zhongdian{项}。
例如，多项式 $6x^2 - \dfrac{1}{2}x + 7$ 中，$6x^2$，$-\dfrac{1}{2}x$，$+7$ 都是它的项。
要特别注意项的符号。
如多项式 $6x^2 - \dfrac{1}{2}x + 7$ 中的第二项是 $-\dfrac{1}{2}x$， 不是 $\dfrac{1}{2}x$。

一个多项式， 含有几项， 就叫几项式。
例如，$4x - 5$ 是二项式，
$6x^2 - \dfrac{1}{2}x + 7$， $a^2 + ab + b^2$ 都是三项式。

多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的\zhongdian{次数}。
例如，$4x - 5$ 是一次二项式，
$6x^2 - \dfrac{1}{2}x + 7$， $a^2 + ab + b^2$ 都是二次三项式。

多项式里，不含字母的项叫做\zhongdian{常数项}。
例如，在多项式 $4x - 5$ 里， $-5$ 是常数项，
在多项式 $6x^2 - \dfrac{1}{2}x + 7$ 里， $+7$ 是常数项。

为了计算方便，我们可以根据加法交换律，
把一个多项式的各项按照某一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序来排列。
例如，多项式
$$ x^3 + 5x - 6 - 4x^2 \douhao $$
可以按字母 $x$ 的指数从大到小的顺序把它写成
$$ x^3 - 4x^2 + 5x - 6 \douhao $$
或者按字母 $x$ 的指数从小到大的顺序写成
$$ - 6 + 5x - 4x^2 + x^3 \juhao $$


按某一个字母的指数从大到小的顺序来排列的多项式，叫做按这个字母的\zhongdian{降幂排列}。
按某一个字母的指数从小到大的顺序来排列的多项式，叫做按这个字母的\zhongdian{升幂排列}。
例如，把多项式
$$ 3x^2y + 4xy^2 - x^3 - 5y^3 $$
按 $y$ 的升幂排列，就得到
$$ -x^3 + 3x^2y + 4xy^2 - 5y^3 \douhao $$
而按 $y$ 的降幂排列，就得到
$$ -5y^3 + 4xy^2 + 3x^2y - x^3 \juhao $$

单项式和多项式统称\zhongdian{整式}。


\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{（口答）下列代数式，哪些是多项式，哪些不是？为什么？\\
    $\dfrac{3}{5}x - x^2 + 1$\nsep $3ab + \dfrac{a}{b}$\nsep $\dfrac{a + c}{b}$\nsep $a^2 + 2ab + b^2$\nsep
    $x^2 - y^2$\nsep $3x - \dfrac{1}{3}$\nsep $8x + y$。
}

\xiaoti{（口答）下列多项式各由哪些项组成？各是几次几项式？\\
    $2x - 8$\nsep $a + b - c$\nsep $-x^2 - \dfrac{3}{5}x + \dfrac{3}{4}$\nsep $x^2 - 2xy + y^2$\nsep
    $m^3 - 1$\nsep $a^3 + ab + b$。
}

\xiaoti{}%
\begin{xiaoxiaotis}%
    \xxt[\xxtsep]{按照 $a$ 的降幂排列多项式 $a^4 - 7a + 6 + 3a^5 - 4a^3$；}

    \xxt{近照 $x$ 的升幂排列多项式 $3x^3y - y^4 + 5xy^3 - x^4$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{先把下列多项式按照 $x$ 的降幂排列，再按照 $x$ 的升幂排列：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={18em, colsep=0pt}}
        \xxt{$12x - 10x^2 + 8$；}             & \xxt{$x^2 + y^2 + 2xy$；} \\
        \xxt{$3x^2y - 5xy^2 + y^3 - 2x^3$；}  & \xxt{$6 + 2x^2 + 5x - 9x^5 + 7x^3$。}
    \end{tblr}

\end{xiaoxiaotis}

\end{xiaotis}
\end{enhancedline}

